我们从小就听过很多建筑物或山的高度，比如说，台北 101 大楼高 509 公尺、玉山高 3,952 公尺。但是，你是否想过这些高度是如何测量出来的？

除了这些高度外，还有比如山谷的深度等，也都是古人有兴趣的问题。现代人最常应用在测量上的数学，是所有高中生都会的「三角函数」。研究三角函数的学问称为「三角学」（trigonometry），从英文字源来看，这个字的意义是「三角（trigon）测量（metry）」，就是用三角形作测量的学问。中国台湾某些补教界名师或少数高中教师，很努力地教高中生三角函数「和差化积」、「积化和差」等公式的技巧，来证明各种漂亮的恆等式，却不重视三角测量的应用，实在是本末倒置。

玉山有多高

古人对大地测量也有兴趣，但是，像山的高度、谷的深度，是无法用一把够长的尺直接看刻度量得的。事实上，就算真的有那么一把超级长的尺，人们还是无法直接测量山高。

那么，要如何量山的高度呢？在测量时，常用到国中学的毕氏定理—直角三角形两股上的正方形面积和等于斜边上的正方形面积。如果直角三角形的三边长是 a、b、c，其中 c 是斜边，三边就会有 a² + b² = c² 的关係。如果知道直角三角形的其中两边，就可以很容易地求出第三边。可惜的是，如果把山的高度看成直角三角形的一股，仍然有另一个未知数，因为我们不能从平地水平地向峰顶下方挖一条地道。因此，在这个直角三角形中，至少有两个未知数。

在国中数学课程中，我们知道，要求出两个未知数必须列出两个方程式。古人也知道，虽然无法直接求出山高，但可以利用两次测量求山高，这就是「重差术」。

重差术的应用

西元 3 世纪，三国时代魏国的刘徽，写了一本《海岛算经》，第一题「望海岛」就是测量海岛的高度。测量海岛的困难与测量山高一样，因为你只能在远处测量，不能拿一把尺越过海拉到海岛上。刘徽所使用的「重差术」，就画在古书里。原文为