数学:重差术–三角测量

我们从小就听过很多建筑物或山的高度,比如说,台北 101 大楼高 509 公尺、玉山高 3,952 公尺。但是,你是否想过这些高度是如何测量出来的?

除了这些高度外,还有比如山谷的深度等,也都是古人有兴趣的问题。现代人最常应用在测量上的数学,是所有高中生都会的「三角函数」。研究三角函数的学问称为「三角学」(trigonometry),从英文字源来看,这个字的意义是「三角(trigon)测量(metry)」,就是用三角形作测量的学问。中国台湾某些补教界名师或少数高中教师,很努力地教高中生三角函数「和差化积」、「积化和差」等公式的技巧,来证明各种漂亮的恆等式,却不重视三角测量的应用,实在是本末倒置。

玉山有多高

古人对大地测量也有兴趣,但是,像山的高度、谷的深度,是无法用一把够长的尺直接看刻度量得的。事实上,就算真的有那么一把超级长的尺,人们还是无法直接测量山高。

那么,要如何量山的高度呢?在测量时,常用到国中学的毕氏定理—直角三角形两股上的正方形面积和等于斜边上的正方形面积。如果直角三角形的三边长是 abc,其中 c 是斜边,三边就会有 a2 + b2 = c2 的关係。如果知道直角三角形的其中两边,就可以很容易地求出第三边。可惜的是,如果把山的高度看成直角三角形的一股,仍然有另一个未知数,因为我们不能从平地水平地向峰顶下方挖一条地道。因此,在这个直角三角形中,至少有两个未知数。

在国中数学课程中,我们知道,要求出两个未知数必须列出两个方程式。古人也知道,虽然无法直接求出山高,但可以利用两次测量求山高,这就是「重差术」。

重差术的应用

西元 3 世纪,三国时代魏国的刘徽,写了一本《海岛算经》,第一题「望海岛」就是测量海岛的高度。测量海岛的困难与测量山高一样,因为你只能在远处测量,不能拿一把尺越过海拉到海岛上。刘徽所使用的「重差术」,就画在古书里。原文为

今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合。从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末三合。问岛高及去表各几何? 答曰:岛高四里五十五步;去表一百二里一百五十步。 术曰:以表高乘表间为实;相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者:以前表却行乘表间为实;相多为法。除之,得岛去表里数。

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